Biodiversity partitioning

Consider a meta-community partitioned into $I$ local communities denoted by $i=1,\ldots,I$ Let $n_{si}$ be the number of sampled individuals of species $s$ in the local community $i$, with $\sum_{s=1}^S n_{si}=n_i$ and $\sum_{i=1}^I n_i=n$, where $n_i$ and $n$ are respectively the number of sampled individuals in the $i$-th community and in the meta-community. Within each community $i$, the probability for an individual to belong to species $s$ is estimated by $p_{si} =n_{si}/n_i$. The same probability for the meta-community is $p_{s}$. Communities may have a weight $w_i$, satisfying $p_s = \sum_{i=1}^I w_ip_{si}$. The commonly-used $w_{i}=n_{i}$ is a possible weight, but the weighting may be arbitrary (e.g. the sampled areas).

The Tsallis $\gamma$ entropy of order $q$ of the meta-community is defined as:
$$ ^\gamma H_q = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_{s=1}^S p_s^q \right)=\cdots=-\sum_{s=1}^S p_s^q \ln_q p_s. $$
The Tsallis $\alpha$ entropy of the $i$-th community} is:
$$ ^\alpha _i H_q = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_{s=1}^S p_{si}^q \right). $$
The natural definition of the total $\alpha$ entropy of the meta-community is the weighted average of local community's $\alpha$ entropies
$$ ^\alpha H_q = \sum_{i=1}^I w_i \;{^\alpha _i}H_q $$

$\alpha$ and $\gamma$ true diversity values are given by Hill numbers $D_{q}$, i.e. the number of equally-frequent species that would give the same level of diversity as the data. According to the definition of Routledge [3] [4] Hill numbers have the following expressions for the $\gamma$ and $\alpha$ diversity of the meta-community:
$$ ^\gamma D_q = \left(\sum_{s=1}^S p_s^q\right)^{\frac 1 {1-q}}=\cdots=e_q\left({^\gamma H_q}\right) $$

$$ ^\alpha D_q = \left(\sum_{i=1}^I w_i \sum_{s=1}^S p_{si}^q\right)^{\frac 1 {q-1}} $$

Diversity measures are traditionally partitioned into $\gamma$, $\alpha$ and $\beta$ and diversity [5], where
$$ {^\gamma D_q} ={^\alpha D_q} \times {^\beta D_q} $$

Starting from the multiplicative partitioning of the $\gamma$ diversity, the following weighted average is obtained for the generalized $\beta$ entropy of order $q$:
$$ {^\beta H_q} = {^\gamma H_q}-{^\alpha H_q} = \sum_{i=1}^I w_i\;{^\beta _i H_q} $$
where
$$ {^\beta _i H_q}=\sum_{s=1}^S p_{si}^q \ln_q \frac{p_{si}}{p_s} $$
is the generalized Kullback-Leibler divergence of order $q$ between each community and the meta-community.

The generalized $\beta$ entropy ${^\beta H_q}$ can be interpreted as the information gain produced by the knowledge of each local community's species probabilities related to the meta-community's probabilities. It is always positive and is independent of $^\alpha H_q$ in the special case of $q\rightarrow 1$, when the Shannon $\beta$ entropy is obtained.

The $\beta$ diversity of order $q$ is then given by
$ {^\beta D_q} = e_q\left({^\beta H_q}\right) $
$\beta$ diversity is the equivalent number of communities, i.e. the number of equally-weighted, non-overlapping communities that would have the same diversity as the observed ones.

Partizionamento della Biodiversitá

Considerando una meta comunitá divisa in $I$ comunitá locali indicate da $i=1,\ldots,I$. Sia $n_{si}$ il numero di esemplari campionati della specie $s$ nella comunitá locale $i$, con $\sum_{s=1}^S n_{si}=n_i$ e $\sum_{i=1}^I n_i=n$, dove $n_i$ e $n$ sono rispettivamente il numero di esemplari nella comunitá $i$-esima e nella meta-comunitá. In ogni comunitÁ $i$, la probabilitá di un esemplare di apartenere alla specie $s$ é calcolata con $p_{si} =n_{si}/n_i$. La stessa probabilitá per la meta-comunitá é $p_{s}$. Comunitá possono avere un peso $w_i$, che soddisfa $p_s = \sum_{i=1}^I w_ip_{si}$. $w_{i}=n_{i}$ é comunemente usato come un possibile peso, ma la The commonly-used $w_{i}=n_{i}$ is a possible weight, la scelta dei pesi puó essere arbitraria (es. le aree campionate).
L'entropia $\gamma$ di Tsallis di ordine $q$ della meta-comunitá é definata come :
$$ ^\gamma H_q = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_{s=1}^S p_s^q \right)=\cdots=-\sum_{s=1}^S p_s^q \ln_q p_s. $$
L'entropia $\alpha$ di Tsallis della comunitá $i$-esima é:
$$ ^\alpha _i H_q = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_{s=1}^S p_{si}^q \right). $$
La definizione naturale dell'entropia $\alpha$ totale della meta-comunitá é la media ponderata delle entropie $\alpha$ delle comunitá locali
$$ ^\alpha H_q = \sum_{i=1}^I w_i \;{^\alpha _i}H_q $$
I valori delle diversitá $\alpha$ e $\gamma$ sono dati dai numeri di Hill $D_{q}$, ossia il numero delle specie "equi-frequenti" che daranno lo stesso livello di diversitá come i dati. Secondo la definizione di Routledge [3] [4] i numeri di Hill avranno la seguente espressione per le diversitá $\gamma$ e $\alpha$ della meta-comunitá:
$$ ^\gamma D_q = \left(\sum_{s=1}^S p_s^q\right)^{\frac 1 {1-q}}=\cdots=e_q\left({^\gamma H_q}\right) $$

$$ ^\alpha D_q = \left(\sum_{i=1}^I w_i \sum_{s=1}^S p_{si}^q\right)^{\frac 1 {q-1}} $$
I valori di diversitá sono tradizionalmente suddivise in diversitá $\gamma$, $\alpha$ e $\beta$ [5], dove
$$ {^\gamma D_q} ={^\alpha D_q} \times {^\beta D_q} $$
Partendo dalla partizione moltiplicativa della diversitá $\gamma$, si ottiene la seguente media ponderata per l'entropia $\beta$ generalizzata di ordine $\q$:
$$ {^\beta H_q} = {^\gamma H_q}-{^\alpha H_q} = \sum_{i=1}^I w_i\;{^\beta _i H_q} $$
dove
$$ {^\beta _i H_q}=\sum_{s=1}^S p_{si}^q \ln_q \frac{p_{si}}{p_s} $$
é la divergenza generalizzata di kullback-Leibner di ordine $\q$ fra le singole comunitá e la meta-comunitá.

L'entropia generalizzata $\beta$ ${^\beta H_q}$ puó essere interpretata come un guadagno di informazioni dovute alla conocscenza delle probabilitá delle specie delle comunitá locali in relazione alle probabilitá della meta-comunitá. É sempre positiva ed é indipendente da $^\alpha H_q$ nel caso particolare di $q\rightarrow 1$, quando si ottiene l'entropia $\beta$ di Shannon.
La diversitá $\beta$ di ordine $\q$ é dataa quindi da
$ {^\beta D_q} = e_q\left({^\beta H_q}\right) $
la diversitá $\beta$ é il numero equivalente delle comunitá, ossia il numero delle comunitá "equi-ponderate" e non sovrapposte che avranno la stessa diversitá di quelle osservate.