Biodiversity partitioning - Partizionamento della biodiversità
Tsallis entropy and the deformed exponential transformation
- Entropy can be thought of as the amount of uncertainty calculated from the frequency distribution of the species in a community. Popular biodiversity measures, including the number of species, Shannon and Simpson indices, can be given a rigorous framework based on the generalized Tsallis entropy [1]. While the interpretation of the Tsallis entropy is not straightforward, one can easily transform it into Hill numbers having many desirable properties and corresponding to the number of equally-frequent species that would give the same level of diversity as the data.
- Consider a community where n individuals are sampled. Let s = 1,..., S denote the species that compose the community and ns be the number of sampled individuals of species s, with \(\sum_{s=1}^S n_s=n\).
The probability for an individual to belong to species s is estimated by ps = ns/n. Given a discrete set of probabilities p = (p1,...,ps) and any real number q, the Tsallis entropy of order q is defined as
$$ H_q({p}) = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_{s=1}^S p_s^q \right). $$
The number of species is the Tsallis entropy of order q = 0, while Shannon's and Simpson's indices respectively correspond to q = 1 and q = 2. The importance given to rare species decreases continuously with q.
- Corresponding true diversity measures Dq(p), or Hill numbers, are obtained taking the deformed exponential transformation eq of the Tsallis entropy:
$$ D_q(p)=e_q\left(H_q(p)\right) $$
For \(H_q(p) < \frac{1}{q-1}\) the deformed exponential transformation of order \(q\) is defined as
$$ e_q\left(H_q(p)\right) = [1+(1-q)H_q(p)]^{1 \over 1-q} $$
with the standard exponential transformation obtained as a special case when q=1.
- Notice that the opposite also holds, as we can define the deformed logarithm of order \(q\) as
$$ \ln_q \left(D_q(p)\right) = \frac 1 {1-q} \left[\left(D_q(p)\right)^{1-q}-1\right]=H_q(p) $$
L'entropia di Tsallis e la trasformazione esponziale deformata
- L'entropia puó essere pensata come la quantitá di incertezza da una distribuzione di frequenza delle specie in una comunitá. Misurazioni comuni di biodiversitá, compresi il numero delle specie, gli indici di Shannon e di Simpson, possono essere dotate di un sistema rigoroso basato sulla entropia generalizzata di Tsallis[1]. Mentre l'interpretazione dell'entropia di Tsallis non semplice, é possibile trasformarla in numeri di Hill aventi molte proprietá interessanti e la numero di specie di frequenza uguale corrispondono livelli di diversitá uguali, come nei dati.
- Si consideri una comunitá dove n esemplari sono campionati. Siano s=1,...,S le specie che compongono la comunitá e ns sia il numero degli esemplari campionati della specie s, con \(\sum_{s=1}^S n_s=n\).
La probabilitá per un esemplare di appartenente ad una specie s é calcolata da ps = ns/n. Dato un insieme discreto di probabilitá p = (p1,...,ps) e un numero reale q, l'entropia di Tsallis di ordine q é definita come
$$ H_q({p}) = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_{s=1}^S p_s^q \right). $$
Il numero di specie é si ottiente quando l'entropia di Tsallis é di ordine q = 0, mentre gli indici di Shannon e di Simpson si ottengono, rispettivamente, per q = 1 e q = 2. L'importanza data ad una specie rara diminuisce continuamente con q.
- Valori corrispondenti di vera diversitá Dq(p), o Numeri di Hill, sono ottenuti utilizzando l'equazione della trasformazione esponenziale deformata dell'entropia di Tsallis:
$$ D_q(p)=e_q\left(H_q(p)\right) $$
Per \(H_q(p) < \frac{1}{q-1}\) la trasformazione esponenziale deformata di ordine \(q\) é definita come
$$ e_q\left(H_q(p)\right) = [1+(1-q)H_q(p)]^{1 \over 1-q} $$
dove la trasformazione esponenziale standard si ottiene come caso particolare per q=1.
- Si noti che si anche ottener l'opposto, si puó definire il logaritmo deformato di ordine \(q\) come
$$ \ln_q \left(D_q(p)\right) = \frac 1 {1-q} \left[\left(D_q(p)\right)^{1-q}-1\right]=H_q(p) $$